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计算机科学中的分治算法

发布：达内编程培训
来源：互联网
时间：2018-08-28 15:28

    一、基本概念
    在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”,就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。
    任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。n=2时，只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可，…而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。
    二、基本策略
    对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题。这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解，这种算法设计策略叫做分治法。
    如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n,且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解，这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。
    三、适用的情况
    （1）该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；
    （2）该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质；
    （3）利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
    （4）该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。
    第一特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加。
    第二特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用。

第三特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三特征，如果具备了第一和第二特征，而不具备第三特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。

    第四特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的，则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。
    四、基本步骤
    step1分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；
    step2解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题；
    step3合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。
    它的一般的算法设计模式如下：
    Divide-and-Conquer（P）
    if |P|≤n0
    then return（ADHOC（P））
    将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,…，Pk
    for i←1 to k
    do yi ← Divide-and-Conquer（Pi） △递归解决Pi
    T ← MERGE（y1,y2,…，yk） △合并子问题
    return（T）
    其中|P|表示问题P的规模，n0为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已容易直接解出，不必再继续分解。ADHOC（P）是该分治法中的基本子算法，用于直接解小规模的问题P,因此，当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC（P）求解。算法MERGE（y1,y2,…，yk）是该分治法中的合并子算法，用于将P的子问题P1 ,P2 ,…，Pk的相应的解y1,y2,…，yk合并为P的解。
    五、复杂性分析
    一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n/m的子问题去解。设分解阀值n0=1,且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间，再设将原问题分解为k个子问题以及用merge将k个子问题的解合并为原问题的解需用f（n）个单位时间。用T（n）表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有：
    T（n）= k T（n/m）+f（n）
    通过迭代法求得方程的解：
    递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T（n）的值，但是如果认为T（n）足够平滑，那么由n等于m的方幂时T（n）的值可以估计T（n）的增长速度。通常假定T（n）是单调上升的，从而当mi≤n<mi+1时，T（mi）≤T（n）<T（mi+1）。
    六、依据分治法设计程序时的思维过程
    实际上就是类似于数学归纳法，找到解决本问题的求解方程公式，然后根据方程公式设计递归程序。
    1、一定是先找到最小问题规模时的求解方法
    2、然后考虑随着问题规模增大时的求解方法

3、找到求解的递归函数式后（各种规模或因子），设计递归程序即可。

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